9/27/2013

Toán chuyên đề: Chuyên đề bất đẳng thức - lớp 9

Mô tả:
Chuyên đề: Chuyên đề bất đẳng thức - lớp 9
Phạm vi: Toán lớp 9
A ) CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN:
I)Các hằng đẳng thức:
(a ± b)2  =a2  ± 2ab +b2
( a  ± b)2 = a2    3a2b +3ab2 ± b2
                                      (a+b)(a-b) =   a2  -  b2
( a+ b )( a2 -   ab   + b2 )  =  a3  + b3   
                                    ( a  - b ) (a2 + ab  +b2 )   =  a3 - b3
(a ± b)4 =a±4a3 + 6a3 b3  4ab3 +b4

II) Các bất đẳng thức:
                                      (a ± b)2 ³ 0       với   "   a ,b
                                       a2 ³ 0               với     "  a .
B)CÁC VÍ  DỤ MINH  HOẠ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
 Bài1          Cho    a  +  b  =   6   Chứng minh:    a4 +  b4  ³ 162
Giải  
Do    a + b  =  6  nên có thể đặt  
     với m tuỳ ý
Ta có :    a4   +   b4   =   (3  + m)4  + (3 -  m)4 = 
        
        =
Với mọi  m .Đẳng thức xảy ra khi  m = 0
Hay  a = b = 3   Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho   a + b  = 4 chứng minh:  a4 + b4  ³ 32
      Giải:     Do   a + b  =  4    nên có thể đặt 
                                                                              với m tuỳ ý

            Ta có :       a4 + b4 =  (2 + m )4 +  (2- m)4  = 32 + 48m2 +2m4 ³ 32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a =  b  = 2 . Ta suy ra  ĐPCM. 
NHẬN XÉT 1:Nếu giả thiết cho a + b  = c      ta nên đặt ẩn phụ tương ứng như trên với
                                                   Với m tuỳ ý    
Bài 3:  Cho x + y + z = 3
             Chứng mỉnh  rằng:     x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx  ³ 6
Giải:      Do   x + y + z = 3  nên ta đặt
     Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
    x2  + y2  +  z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2 + (1 + b )2 + (1 - a - b)2 +                                        + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a2 + ab + b2 
                                 
Với mọi  a , b . Dấu” = “xảy ra khi a = b  = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM . 
NHẬN XÉT 2: Nếu giả thiết  cho:   x + y +  z = k  Thì ta nên đặt:
            Hoặc               với a +b +c = 0

          Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên . 
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
                     ( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd Ê 
Giải:              Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :

Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
    (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =       

Vớii mọi x , y . z .
Dấu ” = “ xảy ra khi x  - y =  z = 0 hay  a = c và  b = d suy ra ĐPCM.
NHẬN XÉT 3 :      Nếu giả thiết cho  a + b + c + d = k . 
            Ta có thể đặt theo 2 cách :
                     Hoặc                 với m + n + p + q = 0
Bài 5:    Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
          a2 + d2 + cd   ³ 3ab
          a2 + b2  + ab   ³ 3cd
              Giải
          Phần a , b tương tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải:      Do a +b = c + d nên ta đặt
                               Với x tuỳ ý
  Ta có              
             "a,b,x
               Dấu   ” = “ xảy ra khi  x = a  - b +   = 0 hay a = b = c = d
         Với c2 + d2 +cd  ³ 3ab với  " a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2    CMR  a2+ b2 +  c2  + d2   ³  1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt 
           
Với : x + y + z + t = 0 
Ta có:    




Dấu bằng xảy ra khi   x = y = z = t   Khi đó a  = b = c = d =
NHẬN XÉT 4:
Nếu cho điều kiện là

CMR:   
Ta nên đặt  ....    




II. CÁC BÀI TOÁN  CÓ ĐIỀU KIỆN LÀ ĐẲNG THỨC KẾT HỢP BẤT ĐẲNG THỨC.
Bài 7:   Cho x + y =3  và   y  ³  2   .Chứng minh rằng:
   a)    x3 + y3 ³ 9
   b)   2x4 + y4 ³ 18

Giải:           Do y ³ 2 nên đặt  y =2 + t ³ 0 với  t  ³  0
                      Do x +y = 3   nên đặt     y = 2  +  t      Thì  x = 1 - t                  Thay x = 1 - t   và         y =  2 + t          vào vế trái ta có:
           x3 + y3  =   (1 -t )3  +   ( t + 2)3= 9 +9 t +9t2 ³ 9 vì  t ³ 0
Dấu  “ = “ xảy ra khi t = 0   hay  x = 1 và y = 2      suy ra  ĐPCM
b)    2x4 + y4 =2 (1 - t)4  + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t2 + 3t4 ³ 18 vì t ³ 0
              Dấu  “ = “xảy ra khi t = 0   hay x =1 và y =2        Suy ra ĐPCM
NHẬN XÉT 5:    Với điều kiện  x + y = k và  y ³  l (hay x Ê  n) thì nên             đặt                y = 1 + m với m ³ 0                      ( hay  x  =  n - m với m  ³ 0)
Từ đó  suy ra    x = k - l - m                                 (hay y =  k - n - m)  
    suy ra:         Hay   
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 8:   Cho x < 2 và x + y > 5     . Chứng minh rằng: 5x2 + 2y2 + 8y > 62
Giải 
Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt 
      Với  t ,k  > 0
                          Suy ra                
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
          5x2 +2y2 +8y = 5 (2 - t )2 + 2(3 + k + t )2 +8 (3 + k + t) =
       =  62 + 2 (k + t )2 +5t2 +20 k  > 62    " k , t      Suy ra ĐPCM . 


Bài 9         Cho   a + b  > 8 và   b > 3 Chứng minh rằng:
                                       27a2 +10 b3 > 945
          
 Giải                 Do a + b  > 8  và  b > 3     Nên ta đặt   
      Với k,t  > 0
      ị   
Thay vào vế trái của BĐT ta có: 
      27a2   +   10b3      =  


Vì ,t,k >0  Suy ra ĐPCM
NHẬN XÉT6:Nếu điếu kiện cho là:
   Ta nên đặt  
Với m,n > 0  từ đó    ị
   Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:
      Thì ta đặt
      với n,m > 0     đ   
Thay vào BĐT  suy ra ĐPCM
Bài10:  Cho a + b + c  ³  3   .Chứng minh rằng  a4 +b4+c4 ³  a3 + b3 + c3
Giải:
Do a + b + c ³ 3     nên ta đặt  :    
                                                 Thoả mãn  x + y + z ³   0
             Xét hiệu :                     

               


Vậy:  
Dấu'' = ''xảy ra  khi  x = y = z hay a = b = c = 1
NHẬN XÉT 7
Đây là đề thi  học viện bưu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh được đối với học sinh THCS
III)CÁC BÀI TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN PHỨC TẠP:
   Bài11:   cho    :   a3  +    b3    2          Chứng minh rằng:  a + b  2
Giải Phương pháp phản chứng.
Giả sử      ta đặt         với        
Ta có:
 =
Vì          Suy ra    Trái giả thiết.Vậy    a + b   2
Bài 12   Cho  a4+ b4   a3  + b3  Chứng minh rằng:  a  + b    2
Giải       Phương pháp phản chứng:
Giả sử    .Đặt       với 
Xét hiệu:   
                                         
hay với  a + b  2 Thì:  a4 + b4   a3 + b3  Trái với giả thiết  . Vậy a + b   2

Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh :

Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b  Khi đó:

                       Cho nên
                                        
(áp dụng BĐT CÔ SI )    Dấu  bằng xảy ra khi x  = y = z
                               Hay a = b = c


Bài toán 14
Cho u,v là các số dương và u+v=1. chứng minh rằng

Giải
Đặt     a  =  u  +       và          Ta có   a 0, b  0
Và                      (1)
 Vì         0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta  có:

vì uv    do đó)  
Dấu đẳng thức xảy ra khi  :   u = v =
bài toán:15
Cho a.b  Chứng minh rằng:
    
Giải :         Đặt  x =               ta có :     

Bất đẳng thức trở thành:
          


Nếu   ab 0 Thì  ta có

   Chia cả hai vế cho ab ta được
         Vậy  x
Trong cả hai trường hợp thì 
Dấu đẳng thức xảy ra khi   a  =  b

-------------------------------------------------------------------------------------------
 Chào mừng bạn viếng thăm blog Toán chuyên đề! -+- Mọi ý kiến đóng góp vui lòng để lại comment phía dưới. -+- Nếu thấy bài viết có ích, hãy chia sẻ cho bạn bè bằng cách bấm vào nút M (Hoặc B, T, F, +1) phía dưới.-+- Trân trọng cám ơn! -
-------------------------------------------------------------------
 Blog là một thú vui!


No comments:

Post a Comment

Lưu ý: Hãy sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt một cách trong sáng khi trao đổi thông tin!
Cám ơn bạn đã phản hồi!