Pages

9/21/2014

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC.

Như chúng ta đã biết ở Tiểu học có một số dạng bài tính nhanh mà nếu ta tính theo những cách thông thường thì khó có thể tìm ra được kết quả. Ở mỗi dạng bài tính nhanh có những cách tính đặc trưng riêng. Sau đây tôi xin được giới thiệu một số dạng bạng bài tính nhanh với những cách tính đặc trưng của từng dạng qua một vài ví dụ cụ thể sau:


NHÓM 1:
Bài 1: Tính nhanh
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..................... + 1/128 + 1/256
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....................1/128 + 1/256
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + ....................... (1/128 – 1/256)
= 2 – 1/256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Cách 2:
S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + .................................... + 1/128
S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Bài 2: Tính nhanh
S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/2187
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo cách 2 như bài 1:
S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/729
S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
Vậy S =  6560/2187 : 2 = 6560/4374
Bài 3: Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 = 3 + 4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3: Nhận xét:
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
......................................................................................................................
8192 = (1 + 2 + 4 + ............... + 4096) + 1
Vậy A = 8192 – 1 + 8192 = 16383
     * Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém  số hạng liền trước n lần ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán.
NHÓM 2:
Bài 4: Tính nhanh
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
Phân tích: Bài này ta thấy ở mấu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể phân tích như sau:
1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
= 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014
= 1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 5: Tính nhanh
A = 1/1 x3 + 1/ 3 x 5 + 1/ 5 x 7 + ................. + 1/ 2013 x 2015
Phân tích: Bài này ta thấy giống với bài 5 chỉ khác ở chỗ ở MS là tích 2 số lể liên tiếp. Muốn đưa về phân cách phân tích như bài 5 ta phải tìm cách đưa tử số về là 2. Ta làm như sau:
A x 2 = 2/1 x3 + 2/ 3 x 5 + 2/ 5 x 7 + ................. + 2/ 2013 x 2015
          = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + .................. + 1/2013 – 1/2015
          = 1 – 1/2015 = 2014/2015
Vậy A = 2014/2015 : 2 = 2014/4030.
Bài 6:  Tính nhanh.
1/ 2 x (1 + 2) + 1/ 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 1/2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
Phân tích:  Với bài này ta phải tìm cách đưa MS về dạng tính nhanh cở bản như bài 4; 5 ở trên. Ta có thể nhận thấy thừa số thứ 2 ở mẫu số là tổng các số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa về dạng tính nhanh cơ bản. Ta có thể làm  như sau:
MS = 2 x (1 + 2) + 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
= 2 x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + ................ + 2 x (9 x 10)/2
2 x3 + 3 x 4 + ...................... + 9 x 10
Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + ............... + 1/9x10
= 1/2 – 1/10 = 2/5
   * Kết luận: Với  bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c là n đơn vị) ta phân tích như sau:
n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c
NHÓM 3:
Bài 7: Tính nhanh
M = 1 x 2  +  2 x 3 + 3 x 4 + .................... + 201 x 202
Phân tích: Bài này ta thấy mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Để tạo ra các nhóm thừa số có thể loại trừ hết cho nhau ta phân tích như sau:
M x 3 = 1 x 2 x (3 - 0)  +  2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + .................... + 201 x 202 x (203 – 200) = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 +  ..................... + 201 x 202 x 203 – 200 x 201 x 202
= 201 x 202x 203 = 8242206
Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402
Bài 8: Tính nhanh
N = 1 x 2  x 3 +  2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + .................... + 100 x 101 x 102
Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Vì vậy ta có thểphân tích như sau:
N x 4 = 1 x 2  x 3 x (4 - 0)+  2 x 3 x 4 x (5 - 1)+ 3 x 4 x 5 x (6 – 2) + .................... + 100 x 101 x 102 x (103 – 99) = 1 x 2  x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 - 1 x 2  x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 x 6 - 2 x 3 x 4 x 5 + ................. + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x 103 = 106110600
Vậy N = 106110600 : 4 = 26527650
Bài 9: Tính nhanh
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa về dạng cơ bản trên. Ta có thể phân tích như sau:
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100 = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1) = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100 = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)  = 343400 – 5050 = 338350
   
    * Kết luận 3: Với dạng bài có các số hạng là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có thể làm như sau:
- Số hạng thứ nhất nhân với n (trong đó n là số tự nhiên liền kề của thừa số lớn nhất trong tích).
- Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – 1
.....................................................................................................................
VD: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 ................ ta làm như sau:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 .............. = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1)+ 3 x 4 x (5 - 2)
NHÓM 4:
Bài 10:  Tính nhanh.
Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + ................ + 2/2011 + 1/2012
Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ........................ + 1/2012 + 1/2013
(Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)
Phân tích:  Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số chính là mẫu số. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1 + .......... + 1) + 2011/2 + ................ + 2/2011 + 1/2012
            (2012 chữ số 1)
= (1 + 2011/2) + ...........+ (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + 1    
=  2013/2 + .......... + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013
=  2013 x ( 1/2 + .......... + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013)
TS/MS = 2013
Bài 11:  Tính nhanh.
TS = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .............. + (1 + 2 + 3 + .......... + 2014)
MS = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Phân tích:  Với dạng bài ta nhận thấy ở TS có 2014 số 1; 2013 số 2 ............. Vì vậy ta có thể giải như sau:
TS = (1 + 1 + .... + 1) + (2 + 2 + ....... + 2) + ....... + (2013 + 2013) + 2014
         (2014 chữ số 1)     (2013 chữ số 2)
= 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
Vậy TS/MS = 1
Bài 12:  Tính nhanh.
TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
MS = 1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100
Phân tích:  Với bài này ta có thể dùng cách thêm bớt để đưa MS về giống với TS. Ta có thể làm như sau:
MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 ....... 1/100 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2  + 1/3 + ....... 1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
Vậy TS/MS = 1
Bài 13:  Tính nhanh.
TS = 1 + 1/3 + 1/5 +  .............+ 1/97 + 1/99
MS = 1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51
Phân tích:  Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và MS về tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung. Ta có thể làm như sau:
TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + ........................ + (1/49 + 1/51)
= 100/ 1x99 + 100/3x97 + .......................... + 100/49X51
= 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51)
Vậy TS/MS = 100
Bài 14:  Tính nhanh.
TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 +  .............+ 1/99 + 1/100
MS = 1/99 + 2/98 + .......... + 99/1
Phân tích:  Với dạng bài ta phân tích MS như sau:
MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + ............+ (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1
= 100/99 – 1 + 100/98 – 1 + ..................... + 100/2 – 1 + 100/1 – 1
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/1 – 1 x 99
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 1
= 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/100
= 100 x (1/99 + 1/98 + ........................ + 1/2 + 1/100)
= 100 x (1/2 + 1/3 + ........................ + 1/99 + 1/100)
Vậy TS/MS = 1/100
     * Kết luận: Với các bài từ bài 10 đến bài 14 ta thấy giữa TS và MS luôn có mối quan hệ với nhau và ta tìm cách đưa TS hoặc MS về một thừa số giống nhau để giúp ta rút gọn và tính được giá trị của biểu thức.
       Trên đây là một vài cách tính nhanh với những dạng bài cụ thể mà tôi đã nghiên cứu, tích lũy qua thời gian tự học, tự rèn luyện của bản thân. Rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của quý bạn đồng nghiệp để dạng toán tính nhanh trở thành dạng toán quen thuộc, dễ hiểu đối với mỗi GV chúng ta cũng như là cơ sở giúp chúng ta BDHSG ngày một hiệu quả hơn. Xin chân thành cảm ơn các bạn ! Chúc các bạn có một mùa hè thật vui và ý nghĩa bên gia đình, người thân nhé !

(Nguyễn Thị Bích Thuỷ - GV trường TH Hậu Lộc)

Ad: Máy trợ giảng tốt - đẹp - rẻ - Ad: Máy khuếch đại âm

No comments:

Post a Comment

Lưu ý: Hãy sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt một cách trong sáng khi trao đổi thông tin!
Cám ơn bạn đã phản hồi!